Faszination Spieltheorie –
Aus der Mathematik in alle Lebensbereiche

 â€žEs ist besser, ein Problem zu erörtern, ohne es zu entscheiden,
als es zu entscheiden, ohne es erörtert zu haben.“
Joseph Joubert

Abb. 1: John von Neumann

Strategisches Denken ist die Kunst, einen Gegner zu überlisten, der das gleiche mit einem selbst versucht. Spieltheorie ist die Wissenschaft, die sich mit strategischem Denken und interaktivem Handeln beschäftigt. Die ihr zugrunde liegende mathematische Theorie wurde von dem Mathematiker John von Neumann (siehe Abbildung 1) zusammen mit dem Wirtschaftswissenschaftler Oskar Morgenstern entwickelt, um eine rationale Analyse der betrachteten Sachverhalte zu ermöglichen. Bekannter als diese beiden dürfte der Mathematiker John F. Nash Jr. (siehe Abbildung 2) sein, der ebenfalls wesentliche Beiträge zur Spieltheorie lieferte. Gemeinsam mit zwei weiteren Vor­denkern auf diesem Gebiet erhielt Nash im Jahr 1994 den Wirtschafts­nobelpreis.

Abb. 2: John F. Nash Jr.

Beispiel aus der Spieltheorie

Ein klassisches in der Spieltheorie betrachtetes Beispiel ist das Gefangenendilemma (siehe Abbildung 3):

Abb. 3: Das Gefangenendilemma

Zwei Täter, die zusammen eine schwere Straftat begangen haben, werden verhaftet und getrennt verhört. Da es keine Tatzeugen gibt, kann nur das Geständnis wenigstens eines Täters zur Verurteilung beider Täter führen. Gesteht nur ein Täter, geht er aufgrund einer Kronzeugenregelung frei aus dem Verfahren heraus, während seinen Komplizen die volle Härte des Gesetzes trifft (10 Jahre Gefängnis). Gestehen beide Täter, erhalten sie 8 Jahre Gefängnis wegen mildernder Umstände. Gesteht keiner, werden beide nur wegen illegalen Waffenbesitzes zu je einem Jahr Gefängnis verurteilt.

Die Auszahlungen, also das „Ergebnis“ des Spiels für jeden Spieler bzw. Gefangenen, werden in negativen Gefängnisjahren bemessen (siehe Tabelle 1).

Gefangener 2 Gestehen Leugnen Gefangener 1 Gestehen -8 -8 -10 0 Leugnen 0 -10 -1 -1

Tab. 1: Auszahlungsmatrix des Gefangenendilemmas

Dabei erkennt man, dass sich die Spieler sehr gut stellen, wenn beide die Tat leugnen. Wegen der Kronzeugenregelung haben jedoch beide einen Anreiz, die Tat zu gestehen. Ein Geständnis ist sogar unabhängig vom Verhalten des anderen für jeden der beiden Gefangenen vorteilhaft. Dies führt zu dem insgesamt gesehen schlechtesten Ergebnis (16 Jahre Gefängnis).

Wie im Kurs gezeigt wird, sind offensives Fahren im Straßenverkehr, Umweltverschmutzung oder Fischfang-Verhalten im gemeinsamen Fanggebiet ähnliche Situationen, in denen für einzelne vorteilhafte Entscheidungen zu für die Allgemeinheit ungünstigen Ergebnissen führen.

Kursinhalt

Das inhaltliche Ziel des Kurses ist, die Grundlagen der Spieltheorie umfassend zu erarbeiten. Gegenstand der Betrachtung sind Problemstellungen aus der täglichen Praxis, besonders aus den Bereichen Politik, Sport, Wirtschaft und Biologie. Neben den bereits genannten Beispielen werden die Erweiterung der europäischen Union, die Kubakrise, Studiengebühren, Elfmeterschießen und Tennisschläge, die „Geld-zurück-Garantie“, Auktionen und Markteintritte von Unternehmen thematisiert.

Ein Schwerpunkt der Kursarbeit liegt auf der formalen Präzisierung der Fragestellungen sowie der gefundenen Lösungen und ihrer exakten Behandlung in mathematischen Modellen, um so Aussagen von genereller Gültigkeit zu erhalten. Hierbei wird auf mathematische Konzepte wie Mengenlehre, Funktionen und Fixpunktsätze, Optimierungs­verfahren etc. zurück­gegriffen.

Nach dem Kurs sind Begriffe wie sequentielle und simultane Spiele, gemischte Strategien, Kooperationsformen, Glaubwürdigkeitsmechanismen, sowie Signaling und Screening keine Fremdwörter mehr. Betrachtet werden außerdem Aspekte der evolutionären und experimen­tellen Spieltheorie.

Kursarbeit

Die Aspekte der verschiedenen Themenbereiche sollen von den Teilnehmenden in Referaten vorgestellt werden. In der Gruppe werden die Inhalte anschließend gemeinsam vertieft und eventuell ergänzt. Dabei wird sich der Spieltheorie nicht nur theoretisch sondern auch praktisch genähert, einige grundlegende Spiele und Situationen werden selbst gespielt. Das eigene Verhalten stellt schließlich das beste Anschauungsmaterial dar.

Da es in Studium und Beruf immer wichtiger wird, Informationen nicht nur aufzunehmen sondern auch weiterzuvermitteln, wird im Rahmen des Kurses auch auf die Strukturierung von Referaten und auf Präsentationstechniken eingegangen.

Teilnahmevoraussetzungen

Spezielle Vorkenntnisse sind nicht erforderlich, alle nötigen Grundlagen werden im Kurs erarbeitet. Es wird aber sehr hilfreich sein, zumindest die Grundzüge der Differentialrechnung (Funktionen, Grenzprozesse) sowie der linearen Algebra (Vektoren, Matrizen) zu kennen. Alle Teilnehmenden sollten bereit sein, im Vorfeld der Akademie ein Referat vorzubereiten, wobei die zugrunde liegende Literatur teilweise in englischer Sprache verfasst sein wird.

Am wichtigsten ist aber Spaß an Mathematik, strategischem Denken und Teamarbeit, sowie die Bereitschaft, sich hin und wieder über das menschliche (eigene?) Verhalten zu wundern.